Наши посетители

Яндекс.Метрика

       

 

Теорема Кантора доказана по-новому

Основываясь на придуманной им математической игре, американский специалист обнаружил новое доказательство теоремы Георга Кантора о несчётности множества всех действительных чисел.

Важнейшим открытием немецкого математика Георга Кантора было то, что бесконечные множества различаются в количественном отношении. Это различие он показал в том числе для множеств действительных и натуральных чисел.

Согласно предложенной им в 1874 г. теореме, множество всех действительных чисел является несчётным, то есть оно не эквивалентно бесконечному ряду натуральных чисел (его элементы нельзя последовательно и однозначно пронумеровать натуральными числами 1, 2, 3 и т.д.).

Свое доказательство Кантор построил от противного, предположив наличие счётности пронумерованного списка всех действительных чисел a1, a2, a3 и т.д., находящихся в интервале от 0 до 1. Эти числа он представил в виде бесконечных десятичных дробей (рациональным числам для этого пришлось добавить бесконечное число нулей начиная с определенного знака после запятой).

Затем Кантор предложил составить еще одну бесконечную десятичную дробь, у которой первый знак после запятой отличается от первого знака после запятой a1, второй знак отличается от второго знака a2 и так далее до бесконечности.

Полученная дробь не совпадает ни с одной десятичной дробью an, поскольку на n-й позиции у нее и an стоят разные цифры. Из этого следует, что полученная дробь не входит в нумерованный список чисел, а значит этот список не является счётным.

Недавно наш современник Мэтью Бейкер (Matthew Baker) из Технологического института Джорджии в Атланте предложил новое доказательство того, что множество действительных чисел несчётно. Его статья с решением опубликована в издании Mathematics Magazine.

Бейкер придумал математическую игру, заключающуюся в том, что вымышленные персонажи Алиса и Боб поочередно выбирают действительные числа из интервала от 0 до 1. Числа Боба обозначаются В, Алисы - А.

Сначала Боб выбирает любое число больше последнего А и меньше 1, а Алиса - меньше последнего В и больше 0. Затем они выбирают числа, которые находятся в интервале между двумя последними числами, выбранными игроками.

По ходу игры числа Алисы и числа Боба становятся все более близки по значению. Числа Алисы бесконечно приближаются к определенному числу α, которое больше, чем все А и меньше, чем все В. Если это число лежит в указанном промежутке (0-1), выигрывает Алиса, если нет - то Боб. Интуитивно понятно, что в этой игре всегда выигрывает Алиса.

На страницах данного портала администрация надеется собрать все интересные (с точки зрения администрации) материалы, которые связаны с математикой.
Администрация портала надеется, что все книги и пособия по математике, задачи занимательной математики , статьи по математике подойдут почти любому ищущему данные материалы.
Самое главное все, что находится на сайте вы можете качать совершенно бесплатно, и запомните, все ссылки здесь работают, потому что этот сайт сделан Вам в помощь,
так как администрации хорошо известно как тяжело найти на бескрайних просторах интернета нужный материал.
Все материалы, опубликованные на данном сайте, предназначены исключительно для образовательных и ознакомительных целей.