Число — это важнейшее математическое понятие. Натуральные числа, используемые для счета в практической деятельности, появились на самых ранних этапах развития человеческой цивилизации.
Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало — число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали, и в языке первобытных народов существовали различные словесные обороты для обозначения одного и того же числа разных предметов. Отвлеченное понятие натурального числа (т. е. числа, не связанного с пересчетом конкретных предметов) появляется и закрепляется вместе с развитием письменности и введением для обозначения чисел определенных символов.
Появление дробных (положительных рациональных) чисел было связано с необходимостью производить измерения, т. е. процедуру, в которой какая-либо величина сравнивается с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона (единицы измерения). Но так как единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, и пренебречь этим обстоятельством в ряде случаев было нельзя, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, нежели натуральные. Это и было источником возникновения наиболее «простых» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т. д. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже не только непосредственной практической деятельностью человека, но и явилось следствием развития математики.
Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Отрицательные числа систематически употреблялись индийскими математиками еще в VI—XI веках. В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь после работ Р. Декарта в XVII веке, давшего их геометрическое истолкование.
Множество рациональных чисел оказывается достаточным для удовлетворения большинства практических потребностей — с помощью рациональных чисел измерения можно выполнять с любой наперед заданной степенью точности.
Дальнейшее расширение понятия числа произошло в XVII веке в период зарождения современной математики, когда возникла необходимость ввести четкое определение понятия числа. Такое определение было дано одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»:
«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».
Эта формулировка дает единое определение действительного числа, как рационального, так и иррационального. (О существовании несоизмеримых отрезков, отношение которых есть число иррациональное, было известно еще ученым Древней Греции.) В дальнейшем, в 70-х годах XIX века строгая теория действительного числа была развита в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.