В одном учреждении обнаружен несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться, нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах (36 букв) устанавливались на определенное слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени.
Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней?
Решение
Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробовать.
Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно
36 × 36 = 362.
К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трехбуквенных комбинаций возможно
362 × 36 = 363.
До недавнего времени каждому велосипеду присваивался номер подобно тому, как это делается для автомашин. Эти номера были шестизначные.
Некто купил себе велосипед, желая выучиться ездить на нем. Владелец велосипеда оказался на редкость суеверным человеком. Узнав о существовании повреждения велосипеда, именуемого «восьмеркой», он решил, что удачи ему не будет, если ему достанется велосипедный номер, в котором будет хоть одна цифра 8. Однако, идя за получением номера, он утешал себя следующим рассуждением. В написании каждого числа могут участвовать 10 цифр: 0, 1, ..., 9. Из них «несчастливой» является только цифра 8. Поэтому имеется лишь один шанс из десяти за то, что номер окажется «несчастливым».
Правильно ли было это рассуждение?
РЕШЕНИЕ
Всего имелось 999999 номеров: от 000001, 000002 и т. д. до 999999. Подсчитаем, сколько существует «счастливых» номеров.
На первом месте может стоять любая из девяти «счастливых» цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.
Рассказывают, что когда 9-летнему Гауссу (крупнейший немецкий математик) учитель предложил найти сумму всех целых чисел от 1 до 100,
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100,
то маленький Гаусс сам сообразил, каким способом можно очень быстро выполнить это сложение.
Надо складывать первое число с последним, второе с предпоследним и т. д. Сумма каждой такой пары чисел равна 101 и повторяется она 50 раз.
Следовательно, сумма всех целых чисел от 1 до 100 будет равна 101 × 50 = 5050.
Этот же прием используйте для решения более трудной задачи: найти сумму всех цифр у всех целых чисел от 1 до 1 000 000 000.
Обратите внимание: здесь речь идет не о сумме чисел, а о сумме цифр всех чисел!