Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.
Задачей этой занимался Эйлер и в письме к Гольдбаху (26 апреля 1757 года) дал одно из решений ее. Вот что, между прочим, пишет он в этом интересном письме:
«... Воспоминание о предложенной когда-то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым тонким изысканиям, в которых обыкновенный анализ, как кажется, не имеет никакого применения. Вопрос состоит в следующем. Требуется обойти шахматным конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке он побывал только один раз. С этой целью все места, которые занимал конь при своих последовательных ходах, закрывались марками. Но к этому присоединилось еще требование, чтобы начало хода делалось с данного места. Это последнее условие казалось мне очень затрудняющим вопрос, так как я скоро нашел некоторые пути, при которых, однако, выбор начала для меня свободен. Я утверждаю, однако, что если полный обход коня будет возвратный, т. е. если конь из последнего места опять может перейти на первое, то устраняется и это затруднение. После некоторых изысканий по этому поводу я нашел, наконец, ясный способ находить сколько угодно подобных решений (число их, однако, не бесконечно), не делая проб. Подобное решение представлено на рисунке (рис. 1).
По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит? Эпименид — легендарный греческий поэт, живший на Крите в VI в. до н. э. Он-то и был первым Рипом ван Винкелем: по преданию, Эпименид проспал 57 лет. Приписываемое ему утверждение логически противоречиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегда говорят правду. При таком предположении утверждение «Все критяне лжецы» не может быть истинным, ибо тогда Эпименид был бы лжецом и, следовательно, то, что он утверждает, было бы ложью. Но приписываемое Эпимениду утверждение не может быть и ложным, ибо это означало бы, что критяне говорят только правду и, следовательно, то, что сказал Эпименид, также истинно. Древних греков очень занимало, каким образом, казалось бы, вполне осмысленное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным без того, чтобы при этом не возникло противоречия. Философ-стоик Хризипп написал шесть трактатов о парадоксе лжеца, ни один из которых не сохранился до нашего времени. Парадокс лжеца преждевременно свел в могилу греческого поэта Филета Косского, который был настолько тощ, что, по преданию, подкладывал в сандалии свинец, чтобы его не унес ветер. В Новом Завете апостол Павел повторяет парадокс лжеца в послании к Титу (гл. I стих 12—13):
Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне
всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые».
Свидетельство это справедливо...
О чем подумал шофер, когда он посмотрел на счетчик спидометра своей машины? Счетчик показывал число 15951. Шофер заметил, что количество километров, пройденных машиной, выражалось симметричным числом, то есть таким, которое читалось одинаково как слева направо, так и справа налево: 15951.
— Занятно!.. — пробормотал шофер. — Теперь нескоро, наверное, появится на счетчике другое число, обладающее такой же особенностью.
Однако ровно через 2 часа счетчик показал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково.
Определите, с какой скоростью ехал эти 2 часа шофер?
Решение
Счетчик машины показывал 15951. Цифра десятков тысяч не могла измениться через 2 часа. Следовательно, первой и последней цифрой нового симметричного числа остается 1. Цифра тысяч могла и должна измениться, так как за 2 часа машина прошла, конечно, больше 49 км, но никак не больше 1000 км; следовательно, цифра тысяч, а вместе с нею и цифра десятков — 6.
Очевидно, что цифра сотен — 0 или 1, и счетчик показывал либо число 16061, либо число 16161.